Question

[不等式選講] 求證：對(duì)于任意不小于3的自然數(shù)，＞．

Answer 1

證明  要證＞，只要證2ⁿ＞2n＋1(n≥3)．             ……………………………2分

(1)n＝3時(shí)，2³＝8，2×3＋1＝7，不等式2ⁿ＞2n＋1 成立．   ……………………………4分

(2)假設(shè)n＝k(k≥3，且k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2^k＞2k＋1，則2^k＋1＝2×2^k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2^k＋1＞2(k＋1)＋1．           ……………………………8分

綜合(1)、(2)可知，對(duì)于任意不小于3的自然數(shù)，＞恒成立．       ……………10分