Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=AE=2，O，M分別為CE，AB的中點．
(Ⅰ)求證：OD∥平面ABC；
(Ⅱ)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值；
(Ⅲ)能否在EM上找一點N，使得ON⊥平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)證明：取AC中點F，連接OF，FB， ∵F是AC的中點，O為CE的中點， ∴OF∥EA且OF=EA， 又BD∥AE且BD=AE， ∴OF∥DB，OF=DB， ∴四邊形BDOF是平行四邊形，  ∴OD∥FB， 又∵FB平面ABC，OD平面ABC， ∴OD∥面ABC。 (Ⅱ)解：∵DB⊥BA，又面ABDE⊥面ABC， 面ABDE∩面ABC=AB，DB面ABDE， ∴DB⊥面ABC， ∵BD∥AE， ∴EA⊥面ABC， 如圖，以C為原點，分別以CA，CB為x，y軸， 以過點C且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系， ∵AC=BC=4， ∴各點坐標為：C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， D（0，4，2），E（4，0，4）， ∴O（2，0，2），M（2，2，0）， 設平面ODM的法向量n=（x，y，z）， 則由且可得， 令x=2，得y=1，z=1， ∴n=（2，1，1）， 設直線CD和平面ODM所成角為θ， 則， ∴直線CD和平面ODM所成角的正弦值為。 (Ⅲ)解：當N是EM中點時，ON⊥平面ABDE， 取EM中點N，連接ON，CM， ∵AC=BC，M為AB中點， ∴CM⊥AB， 又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB， CM面ABC， ∴CM⊥平面ABDE， ∵N是EM中點，O為CE中點， ∴ON∥CM，  ∴ON⊥平面ABDE．