Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M為AB的中點.

（Ⅰ）證明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求點B到平面SCM的距離.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

過D作DE⊥CM于E，連結SE，則SE⊥CM，

∴∠SED為二面角S－CM－A的平面角.

由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2.

在Rt△SDE中，tan∠SED==2，

∴二面角S－CM-A的大小為arctan2.

（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，CM是邊長為4 正△ABC的中線，

.   ∴S_△SCM=CM?SE=，

設點B到平面SCM的距離為h，

由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC， 得S_△SCM?h=S_△CMB?SD，

∴h=  即點B到平面SCM的距離為

解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標系O－xyz.

則A（2，0，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），B（0，2，0）.

∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），

∵?=（－4，0，0）?（0，－2，2）=0，

∴AC⊥BS.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得M（1，，0），，

=（2，0，2）.   設n=（x，y，z）為平面SCM的一個法向量，

則 

∴n=(－1，，1)， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，

∴cos(n，)==

∴二面角S－CM－A的大小為arccos

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（2，2，0），

n=（－1，，1）為平面SCM的一個法向量，

∴點B到平面SCM的距離d=