Question

如圖，A（-1，0），B（1，0），過曲線C₁：y=x²-1（|x|≥1）上一點M的切線l，與曲線C2：y=-

m(1-x2)

(|x|＜1)也相切于點N，記點M的橫坐標為t（t＞1）．
（1）用t表示m的值和點N的坐標；
（2）當實數m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求此時MN所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意可表示出切線的方程整理后代入C₂的方程整理求得m和t的關系式，利用判別式等于0求得m=0或m和t的關系式，先看當m=0時，代入上式判斷出不符合題意；進而看m=（t²-1）²，代入上式，滿足條件，最后可得m的表達式及N的坐標．
（2）表示出直線AM和AN的斜率，若∠MAB=∠NAB，則k_AM=-k_AN，求得t，進而根據（1）中m和t的關系式，求得m，進而求得M，N的坐標，利用兩點式求得MN所在直線的方程．

解答：解：（1）切線l：y-（t²-1）=2t（x-t），即y=2tx-t²-1，
代入y=-

m(1-x2)

，
化簡并整理得（m+4t²）x²-4t（t²+1）x+（t²+1）²-m=0，（*）
由△=16t²（t²+1）²+4（m+4t²）[m-（t²+1）²]=4m[m-（t²-1）²]=0
得m=0或m=（t²-1）²．
若m=0，代入（*）式得xN=

t2+1

2t

＞1，與已知|x_N|＜1矛盾；
若m=（t²-1）²，代入（*）式得xN=

2t

t2+1

∈(0，1)滿足條件，
且yN=2txN-t2-1=-

(t2-1)2

t2+1

，
綜上，m=（t²-1）²，點N的坐標為(

2t

t2+1

，-

(t2-1)2

t2+1

)．
（2）因為kAM=

t2-1

t+1

=t-1，kAN=

- (t2-1)2 t2+1

2t t2+1 +1

=-(t-1)2，
若∠MAB=∠NAB，則k_AM=-k_AN，即t=2，此時m=9，
故當實數m=9時，∠MAB=∠NAB．
此時k_AM=1，k_AN=-1，∠MAB=∠NAB=45°，
易得M（2，3），N(

4

5

，-

9

5

)，
此時MN所在直線的方程為y=4x-5．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題的能力，推理計算能力，知識的綜合問題．