Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點O是側面BB₁C₁C的中心，點D為平面BB₁C₁C內一點，若AD與平面BB₁C₁C所成的角為60°，則點D可能在下列哪些位置（　　）

• A、點B和B₁處
• B、點C和C₁處
• C、點O，B₁和C₁處
• D、點O，B和C處

Answer 1

分析：本題考查的知識點是線面夾角，由已知中側棱垂直于底面，我們過D點做BC的垂線，垂足為E，則DE⊥底面ABC，且E為BC中點，則E為A點在平面BB₁C₁C上投影，則∠ADE即為所求線面夾角，解三角形即可求解．

解答：解：如圖，取BC中點E，連接DE、AE、AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，
易得AE⊥平面BB₁C₁C，故∠ADE為AD與平面BB₁C₁C所成的角．
設各棱長為1，則AE=

3

2

，又O是側面BB₁C₁C的中心
OE=

1

2

，tan∠ADE=

AE

OE

=

3 2

1 2

=

3

，
∴∠AOE=60°．即AO與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
同理可求得，AB，AC與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
故當D在點O，B，C處時AD與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
故選D

點評：求直線和平面所成的角時，應注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關系．（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設定--論證所作或找到的角為所求的角；③計算--常用解三角形的方法求角；④結論--點明斜線和平面所成的角的值．