Question

11．從裝有編號為1，2，3，…，n+1的n+1個球的口袋中取出m個球（0＜m≤n，m，n∈N），共有${C}_{n+1}^{m}$種取法．在這${C}_{n+1}^{m}$種取法中，不取1號球有C${\;}_{1}^{0}$${C}_{n}^{m}$種取法：必取1號球有${C}_{1}^{1}$${C}_{n}^{n-1}$種取法．所以${C}_{1}^{0}$${C}_{n}^{m}$+${C}_{1}^{1}$${C}_{m}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{n}$，即${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{m-1}$=${C}_{n+1}^{m}$成立，試根據上述思想，則有當1≤k≤m≤n，k，m，n∈N時，${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{1}$${C}_{n}^{m-1}$+${C}_{n}^{2}$${C}_{n}^{m-2}$+…+${C}_{k}^{k}$${C}_{n}^{m-k}$=${C}_{n+k}^{m}$．

Answer 1

分析 類比已知可得式子：C_n^m+C_n¹•C_n^m-1+C_n²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況取法總數的和，故根據排列組合公式，可得答案．

解答 解：在C_n^m+C_n¹•C_n^m-1+C_n²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
C_n^m表示：從裝有n個白球，取出m個球的所有情況，
C_n¹•C_n^m-1表示：從裝有n個白球，1個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況，
C_n²•C_n^m-2表示：從裝有n個白球，2個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況，
…
C_k^k•C_n^m-k表示：從裝有n個白球，k個黑球的袋子里，取出m個球的所有情況，
故${C}_{n}^{m}$+${C}_{n}^{1}$${C}_{n}^{m-1}$+${C}_{n}^{2}$${C}_{n}^{m-2}$+…+${C}_{k}^{k}$${C}_{n}^{m-k}$表示：從裝有n+k球中取出m個球的不同取法數，即${C}_{n+k}^{m}$．
故答案為：${C}_{n+k}^{m}$

點評 這個題結合考查了推理和排列組合，處理本題的關鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項所表示的含義，再結合已知條件進行分析，最后給出正確的答案