Question

設，給出下列四個命題：
①函數在區間上是減函數；
②把f（x）圖象按向量平移后得到函數g（x）的圖象，則g（x）是偶函數；
③存在使
④函數y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據向量數量積坐標運算法則，結合三角恒等變換化簡得f（x）=sin（2x+）．由正弦函數的單調區間公式，解關于x的不等式得到是函數f（x）的一個減區間，故①正確；根據函數圖象平移公式和誘導公式，可得f（x）圖象按向量平移后得到y=cos2x的圖象，是偶函數故②正確；由正弦函數的圖象與性質可得當時f（x）的最小值大于1，因此③不正確；根據函數y=Asin（ωx+φ）的周期和y=|sinx|的圖象特征，得到④不正確．
解答：解：∵，
∴=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）
①∵令2x+∈[+2kπ，+2kπ]（k∈Z），可得x∈[+kπ，+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得區間是函數f（x）的一個減區間，故①正確；
②把f（x）圖象按向量平移后，得到y=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+），
即y=cos2x的圖象，所以平移后的圖象為偶函數，故②正確；
③當時，2x+∈（，），可得sin（2x+）∈（，1）
∴f（x）=sin（2x+）∈（1，）．故不存在使，從而③不正確；
④∵f（x）=sin（2x+）的周期為T==π，
∴y=|f（x）|的周期為×π=，因此④不正確
綜上所述，可得正確的命題只有①②
故答案為：①②
點評：本題以向量的數量積運算為載體，求函數f（x）=sin（2x+）的圖象與性質．著重考查了平面向量數量積的坐標公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．