Question

如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是D₁C₁上的一點且EC₁=3D₁ E，
（1）求直線BE與平面ABCD所成角的大小；
（2）求異面直線BE與CD所成角的大小．（以上結果均用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）在DC上取一點F，使DF=1，連接EF，則EF⊥平面ABCD，再連接FB，則∠EBF為直線BE與平面ABCD所成角，故可求；
（2）由于AB∥CD，可知∠EBA（或其補角）是異面直線BE與DC所成的角．連接AD₁與AE，在Rt△AD₁E中，可求異而直線BE與CD所成角的大小．

解答：解：（1）在DC上取一點F，使DF=1，連接EF，則EF⊥平面ABCD，
再連接FB，則∠EBF為直線BE與平面ABCD所成角，…（3分）
∵BF=5，∴tan∠EBF=

4

5

，故直線BE與平面ABCD所成角為arctan

4

5

   …（6分）
（2）由題意AB∥CD，∴∠EBA（或其補角）是異面直線BE與DC所成的角．…（8分）
連接AD₁與AE，在Rt△AD₁E中，可得AE=

33

，
又在Rt△BEC₁中，可得BE=

41

∴cos∠EBA=

3 41

41

   …（10分）
∴異而直線BE與CD所成角的大小為arccos

3 41

41

   …（12分）

點評：本題以正方體為載體，考查線面角，考查線線角，關鍵是正確作出相應的角．