Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）設(shè)直線C₁N與平面CNB₁所成的角為θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M為AB中點(diǎn)，在CB上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三視圖說明幾何體的形狀，以BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，通過

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，證明BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的坐標(biāo)系以及相關(guān)數(shù)據(jù)，設(shè)直線C₁N與平面CNB₁所成的角為θ，求出向量

n2

與

BN

，通過數(shù)量積，
求cosθ的值；
（Ⅲ）M為AB中點(diǎn)，設(shè)存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面CNB₁，利用

MP

•

n2

=0，求出a的值即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BA，BC，BB₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，…1分
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0…3分
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；…4分
（Ⅱ）∵BN⊥平面C₁B₁N，是平面C₁B₁N的一個法向量

BN

=（4，4，0），…5分
設(shè)

n2

=（x，y，z）為平面NCB1的一個法向量，
則

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

⇒

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(4，-4，0)=0

⇒

x+y-z=0 x-y=0

，
取

n2

=（=（1，1，2），…7分
則cosθ═

BN • n2

| BN ||  n2 |

=

3

3

；…9分
（Ⅲ）∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，則

MP

=（-2，0，a），
∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

，

MP

• 

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0
∴a=1…12分
又MP?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當(dāng)BP=1時MP∥平面CNB₁…13分

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查空間幾何體的三視圖，空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計算能力，高考常考題型．