Question

已知cos(α-

π

4

)=

2

10

，α∈(

π

2

，

3

4

π)，則

1-cos2α+sin2α

3+tanα

=（　　）

• A．

  2

  5

• B．

  12

  25

• C．-

  56

  75

• D．

  24

  125

Answer 1

分析：將α寫成α=(α-

π

4

) +

π

4

，利用兩角和與差三角函數(shù)公式及同角三角函數(shù)基本關系式依次求出cosα，sinα，tanα．再利用二倍角公式將所求式子化成α的三角函數(shù)式，代入數(shù)據(jù)計算即可．

解答：解：∵cos(α-

π

4

)=

2

10

，α∈(

π

2

，

3

4

π)，∴α-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），sin(α-

π

4

)=

1-cos2(α- π 4 )

=

7 2

10

，
cosα=cos[(α-

π

4

) +

π

4

]=

2

2

[cos(α-

π

4

)-sin(α-

π

4

)]=

2

2

（

2

10

-

7 2

10

）=-

3

5

，從而sinα=

4

5

，tanα=-

4

3

∴

1-cos2α+sin2α

3+tanα

=

1-(1-2sin2α)+2sinαcosα

3+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

3+tanα

=

2× 4 5 × 1 5

3- 4 3

=

24

125

故選D

點評：本題考查三角函數(shù)公式的應用：化簡求值，應靈活、準確的應用公式．本題將α寫成α=(α-

π

4

) +

π

4

，對角進行轉化，以利于更好更快的應用公式，這種角的代換方法在兩角和與差三角函數(shù)中經常采用，要注意體會、積累，從而更深刻的掌握公式的價值．