Question

已知數列{a_n}滿足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），則記數列{a_n}的通項公式a_n=

-2n+t+2

，若數列{a_n}的前n項和的最大值為f（t），則f（t）=

t2+2t 4 ，(t為偶數) (t+1)2 4 ，(t為奇數)

．

Answer 1

分析：由數列{a_n}滿足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），知數列{a_n}是首項為t，公差為-2的等差數列，由此能求出a_n和數列{a_n}的前n項和的最大值為f（t）．

解答：解：∵數列{a_n}滿足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），
∴數列{a_n}是首項為t，公差為-2的等差數列，
∴a_n=t+（n-1）×（-2）=-2n+t+2．
∴數列{a_n}的前n項和
S=nt+

n(n-1)

2

×(-2)=nt+n-n²=-[n²-（t+1）n]=-（n-

t+1

2

）²+

(t+1)2

4

，
∵數列{a_n}的前n項和的最大值為f（t），
∴當t為偶數時，f（t）=-

1

4

+

(t+1)2

4

=

t2+2t

4

；
當t為奇數時，f（t）=

(t+1)2

4

．
故f（t）=

t2+2t 4 ，(t為偶數) (t+1)2 4 ，(t為奇數)

．
故答案為：-2n+t+2，

t2+2t 4 ，(t為偶數) (t+1)2 4 ，(t為奇數)

．

點評：本題考查等差數列的通項公式和前n項和最大值的求法，解題時要認真審題，注意配方法和數列的函數性質的靈活運用．