Question

如圖，三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，SA=SC=2

3

，SB=2

5

，M、N分別為AB、SB的中點．
（1）求證：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角N-CM-B的一個三角函數值；
（3）求點B到平面CMN的距離．

Answer 1

分析：（1）取AC中點O，由勾股定理可得SO⊥BO，根據等腰三角形的性質可得SO⊥AC，從而得到SO⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC．
（2）如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz，求得平面CMN的一個法向量

n

，平面ABC的一個法向量

OS

，可得
cos?

n

•

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

的值，即為所求．
（3）根據點B到平面CMN的距離即為

MB

在

n

上射影的絕對值d=

| n • MB |

| n |

，求得結果．

解答：解：（1）取AC中點O，連接SO，OB，則SO⊥AC，BO⊥AC，
SO=2

2

，BO=2

3

，
∵SO²+BO²=20，SB²=20，∴SO²+BO²=SB²，∴SO⊥BO，
又SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，
∵SO?平面SAC，∴平面SAC⊥平面ABC．
（2）如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz．
則A（2，0，0），B(0，2

3

，0)，C（-2，0，0），S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)（6分）
∵

CM

=（3，

3

，0），

MN

=（-1，0，

2

）．
設

n

=(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則

CM

•

n

=3x+

3

y=0，

MN

•

n

=-x+

2

z=0，
取z=1，x=

2

，y=-

6

，∴

n

=（

2

，-

6

，1），
又

OS

=（0，0，2

2

 ）為平面ABC的一個法向量，
∴cos?

n

•

OS

＞=

n • OS

| n |•| OS |

=

1

3

．
由圖知

OS

與

n

的夾角即為二面角N-CM-B的大小，其余弦值為

1

3

．
（3）由（2）得

MB

=（-1，

3

，0），

n

=（

2

，-

6

，1）為平面CMN的一個法向量，
∴點B到平面CMN的距離即為

MB

在

n

上射影的絕對值d=

| n • MB |

| n |

=

4 2

3

．

點評：本題考查證明面面垂直的方法，求二面角的大小，點到平面的距離，求平面的法向量的坐標是解題的關鍵和易錯點．