Question

經市場調查，某旅游城市在過去的一個月內（以30天計），日旅游人數f（t）（萬人）與時間t（天）的函數關系近似滿足f(t)=4+

1

t

，人均消費g（t）（元）與時間t（天）的函數關系近似滿足g（t）=115-|t-15|．
（Ⅰ）求該城市的旅游日收益w（t）（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N）的函數關系式；
（Ⅱ）求該城市旅游日收益的最小值（萬元）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據該城市的旅游日收益=日旅游人數×人均消費的錢數得w（t）與t的解析式；
（Ⅱ）因為w（t）中有一個絕對值，討論t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30兩種情況化簡得w（t）為分段函數，第一段運用基本不等式求出最值，第二段是一個遞減的一次函數求出最值比較即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
（Ⅱ）因為w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
①當1≤t＜15時，w(t)=(4+

1

t

)(t+100)=4(t+

25

t

)+401≥4×2

25

+401=441
當且僅當t=

25

t

，即t=5時取等號
②當15≤t≤30時，w(t)=(4+

1

t

)(130-t)=519+(

130

t

-4t)，
可證w（t）在t∈[15，30]上單調遞減，
所以當t=30時，w（t）取最小值為403

1

3

由于403

1

3

＜441，所以該城市旅游日收益的最小值為403

1

3

萬元．

點評：考查學生根據實際情況選擇函數類型的能力，以及基本不等式在求函數最值中的應用能力．