Question

已知函數f（x）=log₂（x-1），
（1）求函數y=f（x）的定義域；
（2）設g（x）=f（x）+m，若函數y=g（x）在（2，3）內有且僅有一個零點，求實數m的取值范圍；
（3）設h（x）=f（x）+

4

f(x)

，求函數y=h（x）在[3，9]內的值域．

Answer 1

分析：（1）由對數式的真數大于0解得x的取值集合，即為所求函數f（x）的定義域；
（2）把函數f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+m，要使函數y=g（x）在（2，3）內有且僅有一個零點，因為函數y=g（x）是單調函數，所以只要滿足g（2）•g（3）＜0即可；
（3）根據題目給出的x的范圍，求出f（x）的范圍，運用函數y=x+

k

x

(k＞0)的單調性即可求出函數h（x）的值域．

解答：解：（1）要使原函數有意義，則x-1＞0，即x＞1．故所求函數的定義域為{x|x＞1}；
（2）g（x）=f（x）+m=log₂（x-1）+m，
由復合函數的單調性可知，g（x）=log₂（x-1）+m在其定義與內為增函數．
要使g（x）=log₂（x-1）+m在（2，3）內有且僅有一個零點，則g（2）•g（3）＜0，
即m（m+1）＜0，得-1＜m＜0．
所以，函數y=g（x）在（2，3）內有且僅有一個零點的實數m的取值范圍是（-1，0）．
（3）當3≤x≤9時，2≤x-1≤8，所以log₂2≤log₂（x-1）≤log₂8，
即1≤f（x）≤3，令f（x）=t，則1≤t≤3．
由h（x）=f（x）+

4

f(x)

，得：h（x）=y=t+

4

t

（1≤t≤3）．
函數y=t+

4

t

（1≤t≤3）的圖象如圖，

函數y=t+

4

t

在[1，2]上為減函數，在[2，3]上為增函數，
所以，當t=2，即log₂（x-1）=2，x=5時，h（x）有最小值4，
而當t=1時，t+

4

t

=1+4=5，當t=3時，t+

4

t

=3+

4

3

=

13

3

，
所以，當t=1，即log₂（x-1）=1，x=3時，h（x）有最大值5．
所以，函數y=h（x）在[3，9]內的值域為[4，5]．

點評：本題考查了函數的定義域及其求法，考查了函數的值域，考查了數學轉化思想，問題（3）又考查了學生對函數y=x+

k

x

(k＞0)的單調性的掌握，此題是中檔題．