Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，F是PB的中點．
（1）求證：DF⊥AP；
（2）在線段AD上是否存在點G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明點G的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線定理平移作出異面直線所成的角，再利用余弦定理即可求出；
（2）利用平行四邊形、線面垂直的判定定理和性質即可得出．
解答：證明：（1）取AB中點E，連接EF，DE
∵E，F分別是AB，PB的中點，
∴EF∥AP，
∴AP 和DF所成的角即為EF和DF所成的角，即∠DFE或其補角；
由已知四邊形ABCD是正方形，
假設PD=DC=a，
則有
∴cos∠DFE==0，
∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．
（2）解：G是AD的中點時，GF⊥平面PCB．
證明如下：取PC中點H，連接DH，HF．
∵PD=DC，∴DH⊥PC．
又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，
∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC
∴DH⊥平面PCB．                           
∵，∴HFGD，
∴四邊形DGFH為平行四邊形，DH∥GF，
∴GF⊥平面PCB．
點評：熟練掌握利用三角形的中位線定理及余弦定理求異面直線所成的角、線面垂直的判定定理和性質定理是解題的關鍵．