Question

橢圓

x2

4

+

y2

3

=1內有一點P（1，1），F為右焦點，橢圓上的點M使得MP+2MF的值最小，則點M的坐標為

(

2 6

3

，1)

．

Answer 1

分析：由橢圓的第二定義可知，

MF

d

=e=

1

2

 可得d=2MF，從而有|PM|+2|MF|=d+|PM|由題意可得，過P作PN⊥l，當M為該垂線與橢圓的右交點時，所求的值最小．

解答：解：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1，e=

1

2

．
由題意可得點P在橢圓內部，設M到橢圓的左準線l得距離為d
由橢圓的第二定義可知，

MF

d

=e=

1

2

，
∴d=2MF，
∴|PM|+2|MF|=d+|PM|
由題意可得，過P作PN⊥l，當M為該垂線與橢圓的右交點時，所求的值最小，
此時 y_M=1，代入可得 xM =

2 6

3

故答案為：(

2 6

3

，1)．

點評：本題主要考查了橢圓的第二定義的應用，解題得關鍵是靈活利用定義轉化可得|PM|+2|MF|=d+|PM|，從而結合圖象可求，體現了數形結合的思想的應用．