Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的圓邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點P是橢圓C的左準線與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍。

Answer 1

解：（1）依題意，設橢圓C的方程為 焦距為2c，由題設條件知， 所以 故橢圓C的方程式為。
（2）橢圓C的左準線方程為， 所以點P的坐標， 顯然直線l的斜率k存在， 所以直線l的方程為， 如圖，設點M，N的坐標分別為， 線段MN的中點G 由得① 由 解得， ② 因為是方程①的兩根， 所以 于是= 因為≤0 所以點G不可能在y軸的右邊 直線，方程分別為 所以點G在正方形Q內（包括邊界）的充要條件為 ， 即， 亦即 解得，此時②也成立； 故直線l斜率的取值范圍是[，）。