Question

已知橢圓，F₁、F₂分別為橢圓c的左右焦點，點P在橢圓C上（不是頂點），△PF₁F₂內一點G滿足，其中．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長為2，過焦點F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），若，求△F₁AB面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定G是△PF₁F₂的重心，坐標為，從而可得P的坐標，利用點P在橢圓C上，即可求得橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求出橢圓方程為，設直線AB的方程為x=my+1，與，利用韋達定理及向量條件，可求得，進而利用，S=，即可求得△F₁AB面積．
解答：解：（I）由，可得G的坐標為
∵，
∴G是△PF₁F₂的重心
令P的坐標是（x，y），則有，∴
∵點P在橢圓C上，∴
∴3a²=4b²，即4c²=a²，∴e=；
（Ⅱ）∵橢圓C短軸長為2，3a²=4b²
∴a=2，b=，c=1
∴橢圓方程為
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，∴y₁=-2y₂①
設直線AB的方程為x=my+1，與聯立，消元整理可得（3m²+4）y²+6my-9=0
∴②，③
由①②③，可得
∴
∴=
∴△F₁AB面積S==
點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形的面積，屬于中檔題．