Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M(1，

3

2

)，其離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求O到直線距離的l最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把點(diǎn)M(1，

3

2

)的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，再結(jié)合離心率為

1

2

求出a，b，c即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)平行四邊形的特征可得x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到k與m的關(guān)系，最后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于k的函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)求最值的方法求出答案即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知，e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，
所以3a²=4b²，①（1分）
又點(diǎn)M(1，

3

2

)在橢圓C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線l有斜率時(shí)，設(shè)y=kx+m時(shí)，
則由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
設(shè)A、B、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
則：x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，
由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
從而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化簡得4m²=3+4k²，經(jīng)檢驗(yàn)滿足③式．
又點(diǎn)O到直線l的距離為：d=

|m|

1+k2

=

3 4 +k2

1+k2

=

1- 1 4(1+k2)

≥

1- 1 4

=

3

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)直線l無斜率時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)P一定在x軸上，
從而P點(diǎn)為（-2，0），（2，0），直線l為x=±1，所以點(diǎn)O到直線l的距離為1，
所以點(diǎn)O到直線l的距離最小值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)算并且抓住式子的結(jié)構(gòu)特征利用函數(shù)求最值的方法解決問題．