Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求證：數列{

an-1

2n

}為等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an-1

2n

，Tn為數列{b_n}的前n項的積，求證：T_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）在等式a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1的兩邊同除以2ⁿ，利用等差數列的定義得到證明；
（2）利用對稱數列的通項公式求出

an-1

2n

，進一步求出數列{a_n}的通項公式．由于通項是一個等差數列與一個等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．
（3）這是一個與正整數有關的不等式的證明，可利用數學歸納法進行證明．

解答：解：（1）an+1=2an+2n+2-1⇒an+1-1=2(an-1)+2n+2⇒

an+1-1

2n+1

=

an-1

2n

+2，
∴{

an-1

2n

}是公差為2，首項為1的等差數列
（2）由（1）知：

an-1

2n

=2n-1，
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an-1

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

，
∵T_n=b₁b₂b₃•…•b_n
當n=1時，T1=b1=2＞

2×1+1

不等式成立
假設n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞

2k+1

成立，
則當n=k+1時，有b1•…•bk•bk+1＞

2k+1

•

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

∵

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

4k2+8k+3

2k+1

=

(2k+1)(2k+3)

2k+1

=

2k+3

∴b1•…•bk+1＞

2(k+1)+1

即當n=k+1時不等式也成立．綜上，當n∈N*時，原不等式成立．

點評：求數列的前n項和，一般先求出數列的通項，然后選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂相消法、分組法．