Question

求證：雙曲線xy=k（k≠0）上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為常數．并說明你的證明中的主要步驟（三步）．

Answer 1

【答案】分析：設曲線xy=k（k≠0）上任意一點的坐標是P（x，y），對xy=k進行變形可得 ，結合點P的坐標，可得切線的方程，聯立曲線的方程，進而可得直線在x、y軸上的截距，由三角形面積公式，計算可得答案，進而證明結論成立．
解答：證明：設曲線xy=k（k≠0）上任意一點的坐標是P（x，y），
由題意可得：xy=k可以變形為：，
對函數求導數可得 ，
所以切線的方程是 ．
因為xy=k，可以得出切線在x軸與y軸的截距分別是x_截距=，
y_截距==，
所以根據三角形的面積公式可得：所求三角形的面積為2k，
所以雙曲線xy=k（k≠0）上任一點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為常數．
點評：本題涉及求曲線的切線方程，進行證明時，一般步驟是先設變量或坐標，再求或聯立方程，最后進行計算得到結論．