Question

正整數按下列方法分組：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…記第n組中各數之和為A_n；由自然數的立方構成下列數組：{0³，1³}，{1³，2³}，{2³，3³}，{3³，4³}，…記第n組中后一個數與前一個數的差為B_n，則A_n+B_n=

 

．

Answer 1

分析：根據所給的兩個數列的特點，看出前n組共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個正整數，故用前n組的和減去前n-1組的和，寫出表示式，后面要求的兩個數字的差，可以用立方差公式整理得到結果，不兩部分相加得到結果．

解答：解：{1}，{2，3，4}，{5，6，7，8，9}，{10，11，12，13，14，15，16}，…
前n組共有1+3+5+…+（2n-1）=n²個正整數，故
An=（1+2+3+…+n²）-[1+2+3+…+（n-1）²]
（用前n組的和減去前n-1組的和）
=

n2(1+n2)

2

-

(n-1)2[1+(n-1)2]

2

=（2n-1）（n²-n+1）
B_n=n³-（n-1）³
故An+Bn=2n³
故答案為：2n³

點評：本題考查數列的查分的概念，是一個基礎題，解題的關鍵是看清題目中所給的數列的項與項數之間的關系，注意運算過程不要出錯．