Question

已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為d，且方程ax²-3x+2=0的解為1，d．
（1）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n公式；
（2）求數列{3^n-1a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）方程ax²-3x+2=0的兩根為1，d．利用韋達定理得出a=1，d=2．由此能求出{a_n}的通項公式及前n項和S_n公式．
（2）令bn=3n-1an=(2n-1)•3n-1，則T_n=1•1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1，由此利用裂項求和法能求出數列{3^n-1a_n}的前n項和T_n．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）方程ax²-3x+2=0的兩根為1，d．
利用韋達定理得

1+d=3 1×d=2

，
解得a=1，d=2．（2分）
由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n2．（6分）
（2）令bn=3n-1an=(2n-1)•3n-1，
則Tn=b 1+b2+b3+…+bn=1•1+3•3+5•32+…+(2n-1)•3n-1，3Tn=1•3+3•32+5•33+…+(2n-3)•3n-1+(2n-1)•3n，（8分）
兩式相減，得-2Tn=1+2•3+2•32+…+2•3n-1-(2n-1)•3n（10分）
=1+

6(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)•3n
=-2-2（n-1）•3ⁿ．
∴Tn=1+(n-1)•3n．（12分）

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理和錯位相減法的合理運用．