Question

設F₁，F₂為橢圓C：+=1（m＞0）的左、右焦點，點P⊆C且
•=0，||•||=4（1）求橢圓C的方程；
（2）作以F₂為圓心，以1為半徑的圓，過動點Q作圓F₂的切線，切點為且使||=||，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a²=6m²，b²=2m²，知2c²=4m²，由•=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，由橢圓定義知，由此能得到所求的橢圓方程．
（2）由F₁（-2，0），F₂（2，0），設Q（x，y），知，（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，由此能得到所求的軌跡方程．
解答：解：（1）∵a²=6m²，b²=2m²，
∴2c²=4m²，
∵•=0，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，
由橢圓定義知，，
∴16m²+8=24m²，
∴m²=1，
故所求的橢圓方程為．
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），設Q（x，y），
∵，
∴，
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
化簡，得（x-6）²+y²=34，
故所求的軌跡方程為（x-6）²+y²=34．
點評：本題考查橢圓的方程和點的軌跡方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．