Question

ABC的面積S滿足≤S≤3，且•=6，AB與BC的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍．
（2）求函數(shù)f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意知：•=||||cosθ=6，①
S=||||sin（π-θ）
=||||sinθ，②
②÷①得=tanθ，即3tanθ=S．
由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1．
又θ為與的夾角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，]．
（2）f（θ）=sin²θ+2sinθcosθ+3cos²θ
=1+sin2θ+2cos²θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+sin（2θ+）．
∵θ∈[，]，∴2θ+∈[，]．
∴當(dāng)2θ+=，θ=時，f（θ）取最小值3．
分析：（1）數(shù)量積列等式，三角形面積列不等式，消元可解θ的取值范圍．
（2）通過三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及二倍角公式化簡函數(shù)f（θ），根據(jù)θ的取值范圍，求最小值．
點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式等知識，是中檔題．