Question

已知定義域為[0，1]的函數f(x)同時滿足以下三條：
①對任意的x∈[0，1]，總有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)成立．
解答下列問題：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函數g(x)=2^x-1在[0，1]上是否同時滿足①②③？
(Ⅲ)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]且f[f(x₀)]=x₀，求證：f(x₀)=x₀。

Answer 1

解：(Ⅰ)令x₁=x₂=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]時，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)當x∈[0，1]時，2^x∈[1，2]，
∴2^x-1∈[0，1]，
∴滿足條件①；
又g(1)=2¹-1=1，
∴滿足條件②；
設x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，則，
，
，
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴，
∴g(x₁+x₂)≥g(x₁)+g(x₂)，
∴滿足條件③，
∴同時滿足①②③．
(Ⅲ)任給m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假設若x₀＜f(x₀)，則f(x₀)≤f[f(x₀)]=x₀矛盾；
同理若x₀＞f(x₀)，則f(x₀)≥f[f(x₀)]=x₀矛盾；
∴假設不成立，
∴f(x₀)=x₀。