Question

設數列{a_n}滿足，令．
（1）試判斷數列{b_n}是否為等差數列？并求數列{b_n}的通項公式；
（2）令，是否存在實數a，使得不等式對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）比較與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知配湊出4a_n+1+1、4a_n+1即b_n+1、b_n的形式，然后根據等差數列的定義求解；
（2）構造數列c_n=，在（1）的基礎上，求出c_n表達式，利用c_n的單調性求出c_n的最大值，從而轉化為不等式求解問題，進而完成對a的探索．
（3）構造函數，利用函數的單調性分n≤2和n≥3兩種情況探索．
解答：解：（1）由已知得，
即，（2分）
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又b₁=1，所以數列{b_n}為等差數列，
通項公式為b_n=n（n∈N^*）．
（2）令c_n=，
由，
得
=
所以，數列{c_n}為單調遞減數列，（8分）
所以數列{c_n}的最大項為，
若不等式對一切n∈N^*都成立，只需，
解得，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范圍為．（12分）
（3）問題可轉化為比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小．
設函數，所以．
當0＜x＜e時，f'（x）＞0；
當x＞e時，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上為增函數；在（e，+∞）上為減函數．
當n=1，2時，顯然有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n≥3時，f（n）＞f（n+1），即，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnⁿ⁺¹＞ln（n+1）ⁿ，
所以nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
綜上：當n=1，2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，即；
當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ即．（16分）
點評：本題主要考查數列、函數、導數、不等式等基礎知識，分類討論、化歸思想等數學思想方法，以及推理、分析與解決問題的能力．