Question

已知0＜α＜

π

2

，π＜β＜

3π

2

，cos（

α

2

+β）=-

1

3

，sin（α+

β

2

）=

3

5

，求sin

α-β

2

．

Answer 1

分析：根據題意求出

α

2

與

β

2

的范圍，進而確定出

α

2

+β與α+

β

2

的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（

α

2

+β）與cos（α+

β

2

）的值，所求式子變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：∵0＜

α

2

＜

π

4

，

π

2

＜

β

2

＜

3π

4

，
∴π＜

α

2

+β＜

7π

4

，

π

2

＜α+

β

2

＜

5π

4

，
∵cos（

α

2

+β）=-

1

3

，sin（α+

β

2

）=

3

5

，
∴sin（

α

2

+β）=-

1-cos2( α 2 +β)

=-

2 2

3

，cos（α+

β

2

）=-

1-sin2(α+ β 2 )

=-

4

5

，
∴sin

α-β

2

=sin[（α+

β

2

）-（

α

2

+β）]
=sin（α+

β

2

）cos（

α

2

+β）-cos（α+

β

2

）sin（

α

2

+β）
=

3

5

×（-

1

3

）-（-

4

5

）×（-

2 2

3

）
=-

3+8 2

15

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．