Question

設數列{a_n}滿足a1=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），記Sn=

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

，則S₁₀的整數部分為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由數列{a_n}滿足a1=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N^*），知

1

an+1

=

1

an

×

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，所以

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，故S10=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a10

-

1

a11

=

1

a1

-

1

a11

，由此能夠求出S₁₀的整數部分．

解答：解：∵數列{a_n}滿足a1=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n=a_n（a_n+1）（n∈N^*），
∴

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

×

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴S10=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a10

-

1

a11

=

1

a1

-

1

a11

，
∵a1=

1

3

，
a2=

1

9

+

1

3

 =

4

9

，
a3=

16

81

+

4

9

=

52

81

，
a4=

2704

6561

+

52

81

＞1，
又a_n+1＞a_n，
∴a₁₁＞1，
∴0＜

1

a11

＜1，
∵

1

a1

=3，
∴S₁₀的整數部分是2．
故選B．

點評：本題考查數列的遞推式，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．