Question

已知雙曲線C的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線與雙曲線C相交于A，B兩點，試判斷以AB為直徑的圓是否過原點，并說明理由．

Answer 1

解：（1）橢圓的焦點坐標為（0，±）
設雙曲線的方程為：（a＞0，b＞0），則，∴a=1，b=2
∴雙曲線；
（2）直線與雙曲線C聯立，消元可得
∴y_Ay_B=-4，
∴x_Ax_B=2y_Ay_B+（y_A+y_B）+4=4
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0
∴OA⊥OB
∴以AB為直徑的圓過原點．
分析：（1）確定橢圓的焦點坐標，設雙曲線的方程為：（a＞0，b＞0），利用雙曲線C的一條漸近線為，且與橢圓有公共焦點，即可求得雙曲線的方程；
（2）直線與雙曲線C聯立，消元，可證明：x_Ax_B+y_Ay_B=0，即可證得以AB為直徑的圓過原點．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，聯立方程，運用韋達定理是關鍵．