Question

設a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是各項均不為零的等差數列，且公差d≠0．設α（n）是將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）為等比數列的最大的n值，則α（n）=（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：先看當n=4時，將此數列刪去某一項得到的數列（按照原來的順序）是等比數列．如果刪去a₁，或a₄，則等于有3個項既是等差又是等比．可以證明在公差不等于零的情況下不成立，進而推斷刪去的是a₂，或a₃．如果刪去的是a₂，根據等差數列的通項公式代入a₁：a₃=a₃：a₄，求得

a1

d

=-4．同理如果如果刪去的是a₃，求得

a1

d

=1，再看當n=5時，由（1）知道，a₁．a₅不能刪．如果刪去a₂，則a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．同樣a₄不能刪．如果刪去a₃，根據等差數列通項公式和a₁：a₂=a₄：a₅，代入發現不成立，進而推斷n＞5時也不成立，進而推斷n只能是4．

解答：解：（1）當n=4時
有a₁，a₂，a₃，a₄．
將此數列刪去某一項得到的數列（按照原來的順序）是等比數列．
如果刪去a₁，或a₄，則等于有3個項既是等差又是等比．
可以證明在公差不等于零的情況下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a²=a²-d²
所以d=0
可以知道刪去的是a₂，或a₃．
如果刪去的是a₂，
a₁：a₃=a₃：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²
3a₁d=4a₁d+4d²
4d²+a₁*d=0
4d+a₁=0

a1

d

=-4．
如果刪去的是a₃，
a₁：a₂=a₂：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²
3a₁d=2a₁d+d²
a₁d=d²
a₁=d

a1

d

=1．
可得

a1

d

=-4或1．
（2）n=5時，由（1）知道，a₁．a₅不能刪．
如果刪去a₂，
則a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．
同樣a₄不能刪．
如果刪去a₃，
a₁：a₂=a₄：a₅
a₁a₅=a₂a₄
（a₃-2d）（a₃+2d）=（a₃-d）（a₃+d）
a₃²-4d²=a₃²-d²
不成立．
所以n只能為4．
故選A

點評：本題主要考查了等差數列的性質．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．屬中檔題．