Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
（I） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：的值．

Answer 1

解：（I）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q，因?yàn)閍₄-a₂=a₂+a₃=24．
所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，則a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a₁=4，
數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，它的通項(xiàng)公式為：4×2 ^n-1=2ⁿ⁺¹．
（II） 求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為：，
數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，
所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，所以b_n=n，
==2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．
分析：（I） 設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，通過(guò)關(guān)系式求出首項(xiàng)與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）利用（I）求出前n項(xiàng)和，通過(guò)數(shù)列{b_n}中，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿(mǎn)足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．推出數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+1的關(guān)系，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，即可求的值．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列、等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和求解，考查計(jì)算能力．