Question

在一次運動會上，某單位派出了有6名主力隊員和5名替補隊員組成的代表隊參加比賽．
（1）如果隨機抽派5名隊員上場比賽，將主力隊員參加比賽的人數記為X，求隨機變量X的數學期望；
（2）若主力隊員中有2名隊員在練習比賽中受輕傷，不宜同時上場；替補隊員中有2名隊員身材相對矮小，也不宜同時上場；那么為了場上參加比賽的5名隊員中至少有3名主力隊員，教練員有多少種組隊方案？

Answer 1

分析：（1）由題意知隨機變量X的取值是0、1、2、3、4、5，當X=0時，表示主力隊員參加比賽的人數為0，當X=1時，表示主力隊員參加比賽的人數為1，當X=2時，表示主力隊員參加比賽的人數為2，以此類推，寫出概率和分布列求出期望．
（2）上場隊員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）；上場隊員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）；上場隊員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）．列出三種情況，相加得到結論．

解答：解：（1）由題意知隨機變量X的取值是0、1、2、3、4、5，
∵當X=0時，表示主力隊員參加比賽的人數為0，以此類推，
∴P（X=0）=

C 0 6 C 5 5

C 5 11

；
P（X=1）=

C 1 6 C 4 5

C 5 11

；
P（X=2）=

C 2 6 C 3 5

C 5 11

；
P（X=3）=

C 3 6 C 2 5

C 5 11

；
P（X=4）=

C 4 6 C 1 5

C 5 11

；
P（X=5）=

C 5 6 C 0 5

C 5 11

．
∴隨機變量X的概率分布如下表：
E（X）=0×

C 0 6 C 5 5

C 5 11

+1×

C 1 6 C 4 5

C 5 11

+2×

C 2 6 C 3 5

C 5 11

+3×

C 3 6 C 2 5

C 5 11

+4×

C 4 6 C 1 5

C 5 11

+5×

C 5 6 C 0 5

C 5 11

=

630

231

≈2.73
（2）由題意知
①上場隊員有3名主力，方案有：（C₆³-C₄¹）（C₅²-C₂²）=144（種）
②上場隊員有4名主力，方案有：（C₆⁴-C₄²）C₅¹=45（種）
③上場隊員有5名主力，方案有：（C₆⁵-C₄³）C₅⁰=C₄⁴C₂¹=2（種）
教練員組隊方案共有144+45+2=191種．

點評：本題考查離散型隨機變量的期望和應用，本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．