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已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值和最小值,并求出相應(yīng)的x的值.
分析:(1)利用二倍角二倍角公式進(jìn)行化簡,然后利用賦值角公式將其化簡成y=Asin(ωx+φ)的形式,從而可求出函數(shù)f(x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)x∈[0,
π
2
]
,求出2x+
π
6
的取值范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值和最小值.
解答:解:f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
,得f(x)=
3
(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)

(1)T=
2
,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
kπ-
π
3
≤x≤
π
6
+kπ

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
3
π
6
+kπ]
,k∈Z.
(2)∵x∈[0,
π
2
]

∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
]則sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1]
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值為2,此時x=
π
6
,最小值為-1,此時x=
π
2
點評:本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,以及三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1

(1)求出函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[0,2π]時,求使f(x)=
3
成立的x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過點(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
(3)若f(x)+mx>1對一切的正實數(shù)x均成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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