Question

函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點（1，0），則f（x）的極大值為    ，極小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：因為f（x）與x軸相切且切點為（1，0）則（1，0）代入到f（x）中得到p+q=1；又因為相切時函數與x軸只有一個交點即根的判別式=0得p²+4q=0，解出p、q的值確定出f（x），求出導數找出駐點分區間討論函數的增減性找出函數的極值即可．
解答：解：由函數f（x）=x³-px²-qx的圖象與x軸切于點（1，0）得：
p+q=1，p²+4q=0．解出p=2，q=-1
則函數f（x）=x³-2x²+x
則f′（x）=3x²-4x+1令其=0得到：x=1或x=
①當x≤時，f′（x）＜0，f（x）單調減，極值=f（）=
②當x≥1時，f′（x）＞0，f（x）函數單調增，極值為f（1）=0
故比較大小得：f（x）的極大值為，極小值為0．
故答案為：，0．
點評：考查學生利用導數研究函數的極值的能力．