Question

已知數列的前項和，滿足：.
（Ⅰ）求數列的通項；
（Ⅱ）若數列的滿足，為數列的前項和，求證：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求數列的通項,由已知,而與的關系為,代入整理得,可構造等比數列求通項公式；（Ⅱ）由,可求出,從而得,顯然是一個等差數列與一個等比數列對應項積組成的數列,可用錯位相減法求數列的和,可證.
試題解析：（Ⅰ）解：當時,,則當時,
兩式相減得，即,∴,∴，當時，，則,∴是以為首項,2為公比的等比數列,
∴,∴；
（Ⅱ）證明:,∴, 則,  ,兩式相減得,,當時,, ∴為遞增數列,∴求數列的通項公式, 2、錯位相減法求數列的和.