Question

如圖，點A，B，C是橢圓M：的三個頂點，F₁，F₂是它的左、右焦點，P是M上一點，且PF₂⊥OB．則下列命題：
①存在a，b使得△AF₂P為等腰直角三角形
②存在a，b使得△F₁F₂P為等腰直角三角形
③存在a，b使得△OF₂P為等腰直角三角形
④存在a，b使得△BF₂P為等腰直角三角形
其中真命題的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用橢圓的長軸，短軸，焦距的數量關系判定①②的正誤；利用F₂P與c的關系判定③④的正誤，得到選項．
解答：解：由題意可知F₂P＜b＜a，所以存在a，b使得△AF₂P為等腰直角三角形不可能，①是錯誤的；
當2c=F₂P時，即滿足2c=，a=時，△F₁F₂P為等腰直角三角形，所以②正確．
存在a，b使得△OF₂P為等腰直角三角形，只需c=F₂P即可，所以③正確．
只需BF₂=F₂P，即a-c=F₂P可得出a=c，而a＞c矛盾，所以④不正確．
故選C．
點評：本題考查題意的基本性質，長軸、短軸、焦距、通經之間的關系，考查學生的計算能力．