Question

某水產養殖場擬造一個無蓋的長方體水產養殖網箱，，為避免混養，箱中要安裝一些篩網，其平面圖如下．如果網箱四周網衣（圖中實線部分）建造單價為每米長56元，篩網（圖中虛線部分）的建造價為每米長48元，網箱底面面積為160平方米，建造單價為每平方米50元．網衣及篩網的厚度不計．
（1）把建造網箱的總造價y（元）表示為網箱的長x（米）的函數，并求出最低造價；
（2）若要求網箱的長不超過15米，寬不超過12米，則當網箱的長和寬各為多少米時，可使總造價最低？（結果精確到0.01米）

Answer 1

分析：（1）根據題意可知網箱的寬為

160

x

（米），然后根據題意建立建造網箱的總造價y（元）表示為網箱的長x（米）的函數，最后根據基本不等式求出函數的最值即可；
（2）根據題意求出x的范圍，然后利用函數的單調性求出最值即可．

解答：解：（1）根據題意可知網箱的寬為

160

x

（米），x＞0
y=（2x+

320

x

）×56+（x+3×

160

x

）×48+160×50
=160x+256×

160

x

+8000≥13120
當且僅當x=16時取等號
∴當x=16時，最小值為13120．
（2）∵網箱的長不超過15米，寬不超過12米，
∴

40

3

≤x≤15
y=160x+256×

160

x

+8000在

40

3

≤x≤15上單調遞減
∴當長為15米，寬為10.67米時造價最低

點評：本題主要考查利用基本不等式求函數的最值，一定注意使用的條件：一正；二定；三相等，以及根據函數的單調性求最值．