Question

設定義域為R的函數f(x)=

|x+1|，x≤0 (x-1)2，x＞0

．
（1）在平面直角坐標系內作出該函數的圖象；
（2）試找出一組b和c的值，使得關于x的方程f²（x）+b•f（x）+c=0有7個不同的實根．請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據分段函數圖象分段畫的原則，結合絕對值函數的性質及二次函數的性質，我們易畫出函數的圖象；
（2）本題是一個開放題，沒有固定的答案，使得關于x的方程f²（x）+b•f（x）+c=0有7個不同的實根，則f（x）=1有3個解，f（x）=a∈（0，1）有四個解，只要列出b和c的值，能夠滿足條件即可．

解答：解：（1）如下圖所示：

（2）b=-

3

2

，c=

1

2

滿足條件，理由如下：
設f（x）=t，t²+bt+c=0，
由圖象可得以上有關于t的方程必須有一解為1，
另一解在區間（0，1）中，
才會使得關于x的方程f²（x）+b•f（x）+c=0有7個解．
其中，f（x）=1有3個解，
f（x）=a∈（0，1）有四個解．
所以可令t1=1，t2=

1

2

，
即可得方程x2-

3

2

x+

1

2

=0．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷及函數的圖象，其中根據絕對值函數的性質及二次函數的性質，畫出函數的圖象并結合函數圖象即可得到答案．