Question

設函數f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c的解集為（-1，2）
（Ⅰ）判斷g（x）=（x＞）的單調性，并用定義證明；
（Ⅱ）解不等式＞0

Answer 1

【答案】分析：由題設條件函數f（x）=-4x+b，不等式|f（x）|＜c可解出用參數表示的不等式的解集又已知不等式解集為（-1，2），利用集合相等可以得出參數的方程，由此可以求出參數b，c的值．
（1）本題解題格式是先判斷出結論，再進行證明，由于本題要求用定義法證明，故按定義證明單調性證明步驟證明即可．
（2）將函數的解析代入，由于不等式中含有參數，且參數的取值對不等式的解集有影響，故須對參數分類討論來解不等式．本題中的不等式是一個分式不等式，求解時常將其變為等價的整系數不等式求解．
解答：解：∵|-4x+b|＜c得＜x＜
又∵|f（x）＜c|的解集為（-1，2）
∴得b=2（2分）

（Ⅰ）函數g（x）=在（，+∞）上為增函數（4分）
證明：設x₁＞x₂＞則g（x₁）-g（x₂）=
∵x₁＞x₂＞∴（1-2x₁）（1-2x₂）＞0，x₁-x₂＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴函數g（x）=在（，+∞）上為增函數（6分）

（Ⅱ）由＞0得（x+）（x-）＜0（8分）
①當-＞，即m＜-2時，＜x＜-
②當-=，即m=-2時，無解
③當-＜，m＞-2時，-＜x＜
∴當m＜-2時，解集為（，-）
當m=-2時，解集為空集
當m＞-2時，解集為（-，）（12分）
點評：本題考點是函數單調性的判斷與證明，考查了通過同一性轉換出方程求參數的值以及定義法證明不等式的單調性，解分式不等式等．用定義法證明單調性要注意做題步驟為設元，求差，變形，斷號，定論，做題時不可漏項，分式不等式的解法通常轉化為等價的整系數不等式求解，本題將分式不等式轉化為整系數不等式，由于其對應方程一根與參數有關系，故需要用分類討論的方法來對不等式進行分類討論求解．