Question

設數列{a_n}滿足a₁=1，3（a₁+a₂+…+a_n）=（n+2）a_n，求通項a_n．

Answer 1

分析：設數列{a_n}的前n項和為S_n，可得3S_n=（n+2）a_n，可得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），兩式相減，得

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2）．由累乘法可得答案．

解答：解：設數列{a_n}的前n項和為S_n，
則由3（a₁+a₂+…+a_n）=（n+2）a_n可得3S_n=（n+2）a_n，
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），兩式相減，得
3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1，即

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2）．
∴

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

，

a4

a3

=

5

3

，…，

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2），
將以上各式相乘，得

an

a1

=

n(n+1)

2

，又a₁=1滿足該式式，
∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N^*）．

點評：本題考查數列的概念，涉及累乘法求通項公式，屬基礎題．