Question

將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結論：
①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°．
其中錯誤的結論是（　　）

A．①

B．②

C．③

D．④

Answer 1

分析：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據線面垂直的判定及性質可判斷①的真假；求出AC長后，可以判斷②的真假；求出AB與平面BCD所成的角可判斷③的真假；建立空間坐標系，利用向量法，求出AB與CD所成的角，可以判斷④的真假；進而得到答案．

解答：解：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．?∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正確．?
設正方形邊長為a，則AD=DC=a，AE=

2

2

a=EC．
∴AC=a．?
∴△ACD為等邊三角形，故②正確．?
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故③不正確．?
以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標系，?
則A（0，0，

2

2

a），B（0，-

2

2

a，0），D（0，

2

2

a，0），C（

2

2

a，0，0）．??

AB

=（0，-

2

2

a，-

2

2

a），

DC

=（

2

2

a，-

2

2

a，0）．
cos＜

AB

，

DC

＞=

1 2 a2

a2

=

1

2

∴＜

AB

，

DC

＞=60°，故④正確．
故選C

點評：本題考查的知識點是線面垂直的判定與性質，空間兩點距離，線面夾角，異面直線的夾角，其中根據已知條件將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，結合立體幾何求出相關直線與直線、直線與平面的夾角，及線段的長是關鍵．