Question

已知橢圓中心在原點，焦點在坐標軸上，直線l：y=

3

(x+1)與橢圓相交于A、B兩點，若線段AB的中點M到原點的距離為1，且|AB|=2．
（1）求點M坐標；
（2）求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）確定直線與x、y軸的交點，即為A，B兩點，即可求出點M坐標；
（2）根據A，B兩點的坐標，即可求得橢圓方程．

解答：解：（1）設直線與x、y軸的交點分別為C，D，其坐標為C（-1，0）、D（0，

3

）
由于M是AB的中點，則M在直線上，且其到原點的距離為1，以原點為中心做半徑為1的圓與直線相交于兩點，C（-1，0），E（-

1

2

，

3

2

），則E點即是M點（C點不滿足）
∴M（-

1

2

，

3

2

）；
（2）又由于AB長度為2，所以MA，MB長度為1，且MX，MY長度分別為1，所以A、B分別于C、D重合
設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），則a=1，b=

3

∴橢圓方程為x²+

y2

3

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．