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已知f(x)=-2x2+2ax-a2b.
(I)當不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時,求實數a,b的值;
(Ⅱ)若對任意實數a,f(2)<0恒成立,求實數b的取值范圍;
(Ⅲ)設b使不為0的常數,解關于a的不等式f(1)+ab<0.
【答案】分析:(I)將不等式f(x)>0的解集為(-1,3),轉化為-1,3是方程-2x2+2ax-a2b=0的兩個根,從而可求a=2,b=
(Ⅱ)對任意實數a,f(2)<0恒成立,等價于-8+4a-a2b0對任意實數a恒成立,從而可求實數b的取值范圍;
(Ⅲ)f(1)+ab<0,即-2+2a-a2b+ab0,對參數b進行討論,可解不等式.
解答:解:(I)∵不等式f(x)>0的解集為(-1,3),
∴-1,3是方程-2x2+2ax-a2b=0的兩個根

∴a=2,b=
(Ⅱ)對任意實數a,f(2)<0恒成立,等價于-8+4a-a2b<0對任意實數a恒成立
即ba2-4a+8>0對任意實數a恒成立


(Ⅲ)f(1)+ab<0,即-2+2a-a2b+ab<0
∴ba2-(2+b)+2>0
∴(ba-2)(a-1)>0
當b<0時,
當0<b<2時,a<1,或
當b=2時a≠1
當b>2時,,或a>1
點評:本題以函數為載體,考查不等式解集與方程根的關系,考查二次不等式恒成立問題,考查解不等式,正確分類是關鍵.
練習冊系列答案
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定義函數y=f(x),x∈D,若存在常數C,對任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)f(x2)
=C
,則稱函數f(x)在D上的幾何平均數為C.已知f(x)=2x,x∈[1,2],則函數f(x)=2x在[1,2]上的幾何平均數為(  )
A、
2
B、2
C、2
2
D、4

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2
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