Question

(本題滿分13分)

已知直線與橢圓相交于A、B兩點．

   （Ⅰ）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；

   （Ⅱ）若向量與向量互相垂直（其中O為坐標原點），當橢圓的離心率 時，求橢圓的長軸長的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）橢圓的方程為 ，

  ；

（II）長軸長的最大值為．

                                        

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）根據題意的幾何性質，得到系數a,b,c的關系式，進而得到橢圓的方程的求解。

（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到關于x的一元二次方程，然后分析向量的數量積為零表示垂直，以及結合橢圓的離心率的范圍得到所求。

解：（Ⅰ）   

    ∴橢圓的方程為                             ……………………… 2分

    聯立

   

                                 …………………… 6分

（II）

   

      整理得 

   

    整理得：                        

    代入上式得

                 

   

    由此得,故長軸長的最大值為．

                                                ………………………………… 13分