Question

已知函數(shù)f(x)=-x+log2

1-x

1+x

，定義域為（-1，1）
（1）求f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)的值．
（2）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性并給出證明．

Answer 1

分析：（1）先證明函數(shù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，再計算f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)的值；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）是定義域上的增減性，步驟是一取值，二作差，三判正負，四下結(jié)論．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=-x+log2

1-x

1+x

，定義域為（-1，1）；
∴任取x∈（-1，1），有f（-x）=x+log₂

1+x

1-x

=-（-x+log₂

1-x

1+x

）=-f（x），∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
∴f(

1

2008

)+f(-

1

2008

)=f（

1

2008

）-f（

1

2008

）=0；
（2）f（x）是定義域上（-1，1）的減函數(shù)，證明如下：
∵f（x）是定義域上（-1，1）的奇函數(shù)，
∴任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+log₂

1-x1

1+x1

）-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）=（x₂-x₁）+log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

）=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0，

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

＞1，即log₂

(1-x1x2)+(x2-x1)

(1-x1x2)+(x1-x2)

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
所以，f（x）是定義域上（-1，1）的減函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用與單調(diào)性的證明，是一個容易出錯的題目．