Question

已知數列{a_n}是公比為d（d≠1）的等比數列，且a₁，a₃，a₂成等差數列．
（1）求d的值；
（2）設數列{b_n}是以2為首項，d為公差的等差數列，其前n項和為S_n，試比較S_n與b_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等比數列，且a₁，a₃，a₂成等差數列，得2a₃=a₁+a₂，從而求得公比d；
（2）{b_n}是等差數列，可得b_n與前n項和S_n，作差比較b_n與S_n的大小．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是公比為d（d≠1）的等比數列，且a₁，a₃，a₂成等差數列，
∴2a₃=a₁+a₂，
即2a₁d²=a₁+a₁d，∴2d²-d-1=0，∴d=-

1

2

，或d=1（舍去）．
所以，d=-

1

2

；
（2）∵數列{b_n}是以2為首項，d為公差的等差數列，
∴b_n=2+（n-1）×（-

1

2

）=-

1

2

n+

5

2

，其前n項和S_n=2n+n（n-1）•（-

1

4

）=-

1

4

n²+

9

4

n；
∴b_n-S_n=（-

1

2

n+

5

2

）-（-

1

4

n²+

9

4

n）=

1

4

n²-

11

4

n+

5

2

=

1

4

(n-

11

2

)2-

81

16

；
所以，當n=1或n=10時，b_n-S_n=0，即b_n=S_n；
當1＜n＜10時，b_n-S_n＜0，即b_n＜S_n；
當n＞10時，b_n-S_n＞0，即b_n＞S_n．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的綜合應用，以及作差比較兩數（式）的大小，是易錯的題目．