Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

(I)

 (II)當時，，直線過定點與已知矛盾；當時，，直線過定點

【解析】（1）根據橢圓的性質得，所以即可寫出橢圓的方程.（2）直線與橢圓聯立消去得.設，由判別式大于0得，利用跟與系數的關系得以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點就是與垂直，即.代入坐標運算可整理得與的關系，保證判別式大于0，且直線不過橢圓的左右頂點，得直線過定點

解：(I)由題意設橢圓的標準方程為

，

 (II)設，由得，

，.

以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，

，，

，，解得

，且滿足.當時，，直線過定點與已知矛盾；當時，，直線過定點