Question

【題目】對于函數y＝f（x），若在其定義域內存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，則稱函數f（x）具有性質M．

（1）下列函數中具有性質M的有____

①f（x）＝﹣x+2

②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）

③f（x）＝x，（x∈（0，+∞））

④f（x）

（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，則實數a的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】①②④ a或a＞0

【解析】

（1）①因為f（x）＝﹣x+2，若存在，則，解一元二次方程即可.②若存在，則，即，再利用零點存在定理判斷.③若存在，則，直接解方程.④若存在，則，即，令，再利用零點存在定理判斷.

（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，則ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，將問題轉化 ：當 時， 有解，當 時， 有解，分別用二次函數的性質求解.

（1）①因為f（x）＝﹣x+2，若存在，則，

即，所以 ，存在.

②因為f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，則，

即，

令，

因為，

所以存在 .

③因為f（x）＝x，（x∈（0，+∞）），若存在，則，

即，所以不存在.

④因為f（x），（x∈（0，+∞）），若存在，則，

即，

令，

因為，

所以存在.

（2）若函數f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性質M，

則ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，

當 時， 有解，

令 ，

所以 .

當 時， 有解，

令 ，

所以 .

綜上：實數a的取值范圍是a或a＞0.

故答案為：(1). ①②④ (2). a或a＞0