Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在橢圓C上，又.
（1）求焦點(diǎn)F₂的軌跡的方程；
（2）若直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

解析試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓定義知
 恰好符合雙曲線的定義.動(dòng)點(diǎn) 在以、 為焦點(diǎn)的雙曲線上；
（2）由（1）得曲線的方程 ,設(shè) ,聯(lián)立方程組 
消去得方程有兩個(gè)正根.由韋達(dá)定理可建立與 的關(guān)系
另外，由 將由韋達(dá)定理得到的關(guān)系式代入其中可得關(guān)于關(guān)系式，再結(jié)合即可求得 的取值范圍.
試題解析：（1） 

故軌跡 為以、  為焦點(diǎn)的雙曲線的右支
設(shè)其方程為： 
 
故軌跡方程為.                               （6分）
（2）由
方程有兩個(gè)正根.

設(shè)，由條件知.
而

即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.

.
故的取值范圍為               （12分）
考點(diǎn)：1、橢圓的定義；2、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合問題.